已知橢圓的焦距為4，且過點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）直線與橢圓只有一個公共點

【解析】（1）因為橢圓過點

 且 

       橢圓C的方程是

（2）

由題意，各點的坐標如上圖所示，

則的直線方程：

化簡得

又，

所以帶入

求得最后

所以直線與橢圓只有一個公共點.

第（1）題根據(jù)題意確定的大小，再將帶入方程，確定橢圓的方程；第（2）題是存在性問題，根據(jù)題意，設(shè)出，根據(jù)條件寫出的直線方程，并進行化簡，然而點坐標又在橢圓上，帶入方程，求出，即可判斷直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點.

【考點定位】考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，并考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力及運算能力.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的焦距為4，且過點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年河北省高二上學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為的直線經(jīng)過點，與橢圓交于不同兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當橢圓的右焦點在以為直徑的圓內(nèi)時，求的取值范圍.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知橢圓的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為的直線經(jīng)過點，與橢圓交于不同兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當橢圓的右焦點在以為直徑的圓內(nèi)時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年云南師大附中高考適應(yīng)性月考數(shù)學試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的焦距為4，設(shè)右焦點為F1，離心率為e．
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設(shè)直線AB的斜率為k，若，求e的取值范圍．

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