Question

已知橢圓的焦距為4，設右焦點為F₁，離心率為e．
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設直線AB的斜率為k，若，求e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的焦距為4，，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）①設出A的坐標，利用AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，求出M、N的坐標，根據(jù)原點O在以線段MN為直徑的圓上，可得OM⊥ON，從而可得結論；
②直線方程與橢圓、圓聯(lián)立，表示出k，根據(jù)，即可求e的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，，∴c=2，a=2，∴=2
∴橢圓的方程為；
（2）①證明：設A（x，y）則B（-x，-y）
因為橢圓的方程為，所以右焦點F₁（2，0），M（，），N（，-），
∵原點O在線段MN為直徑的圓上，∴OM⊥ON，
∴，
∴x²+y²=4，∴點A在定圓上．
②解：由，可得，∴
將e==，b²=a²-c²=，代入上式可得
∵，∴
∴
∵0＜e＜1
∴＜e≤．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系的綜合運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．