Question

6．在如圖所示的多面體PMBCA中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，PM∥BC，且BC=4，$AB=2\sqrt{5}$．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）若多面體PMBCA的體積為$2\sqrt{3}$，求PM的長．

Answer 1

分析 （1）先證明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，證明BC⊥平面PAC，即可證明PA⊥BC；
（2）作AD⊥PC于點D，證明AD⊥平面BCPM，求出四邊形BCPM的面積，再根據(jù)多面體PMBCA的體積求出PM 的長即可．

解答 （1）證明：∵AC=2，BC=4，$AB=2\sqrt{5}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA． …6 分
（2）解：過點A作AD⊥PC垂足為D，設(shè)PM的長為x，
由（1）知，BC⊥平面 PAC，
∴BC⊥AD，∵BC∩PC=C，∴AD⊥平面BCPM，
∴AD為多面體PMBCA的高，且AD=$\sqrt{3}$?…8 分
又 PM∥BC，且BC=4，∴四邊形BCPM是上下底分別為x，4，高為2的直角梯形，
∴多面體PMBCA的體積為$\frac{1}{3}×[{\frac{1}{2}（{x+4}）×2}]×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
解得x=2，即PM的長為 2．…12 分

點評 本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定，考查多面體PMBCA的體積，正確運用面面垂直的性質(zhì)是關(guān)鍵．