Question

19．已知圓C：（x-3）²+（y-5）²=5，過圓心C的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P．若A恰為PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為2x-y-1=0或2x+y-11=0．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)直線L的方程為y-5=k（x-3），P（0，5-3k），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與圓的方程，然后由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A為PB的中點(diǎn)可得x₂=2x₁，聯(lián)立可求x₁，x₂，進(jìn)而可求k，即可求解直線方程．

解答 解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在
可設(shè)直線L的方程為y-5=k（x-3）
令x=0可得y=5-3k，即P（0，5-3k），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與圓的方程，消去y可得（1+k²）x²-6（1+k²）x+9k²+4=0
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂=6，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}$①
∵A為PB的中點(diǎn)
∴x₂=2x₁②
把②代入①可得x₂=4，x₁=2，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}$=8
∴k=±2
∴直線l的方程為y-5=±2（x-3），即2x-y-1=0或2x+y-11=0．
故答案為：2x-y-1=0或2x+y-11=0．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程思想，屬于中檔題．