Question

（本小題滿分16分）
已知（，為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)
在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為，那么稱，為閉函數(shù)。請解答以下問題：
（1）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（2）求證：函數(shù)（）為閉函數(shù)；
（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；
(2) 見解析；（3）．

試題分析：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意，不成立。
（2）利用高次函數(shù)來分析，利用單調(diào)性的定義分析和證明。
（3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間
為，利用對應(yīng)相等得到結(jié)論。
解：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；---2分
所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)---4分
(2) 先證符合條件①：對于任意
且，有       
，      ，故是上的減函數(shù)．
又因為在上的值域是。                     ---------8分
（3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間
為，則；故是的兩個不等根，即方程組為：
有兩個不等非負(fù)實根；         - -- --- ------11分
設(shè)為方程的二根，則 ，
解得：的取值范圍．            --- --- ---16分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是理解概念，運用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的某個區(qū)間，是否滿足定義域和值域相同得到結(jié)論。