Question

17．如圖，⊙O是以AB為直徑的圓，點C在圓上，在△ABC和△ACD中，∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，DC的延長線與AB的延長線交于點E．若EB=6，EC=6$\sqrt{2}$，則BC的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OC，在直角三角形ACB和ADC中，由條件可得∠DCA=∠CBA，又OB=OC，即∠CBA=∠BCO，推得OC⊥DE，ED為圓O的切線，由圓的切割線定理，可得CE²=BE•AE，計算可得圓的半徑為3，再由AD∥OC，運用三角形相似的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例，可得CD，AD，再由勾股定理，計算即可得到BC的長．

解答 解：連接OC，在直角三角形ACB和ADC中，
∠D=∠ACB，∠CAB=∠DAC，
可得∠DCA=∠CBA，
又OB=OC，即∠CBA=∠BCO，
又∠BCO+∠ACO=90°，
可得∠DCA+∠ACO=90°，
即有OC⊥DE，ED為圓O的切線，
由圓的切割線定理，可得CE²=BE•AE，
即有（6$\sqrt{2}$）²=6（6+AB），
解得AB=6，即圓的半徑為3，
由AD∥OC，可得$\frac{CD}{CE}$=$\frac{OA}{OE}$，
即為$\frac{CD}{6\sqrt{2}}$=$\frac{3}{9}$，即有CD=2$\sqrt{2}$，
又$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AE}{OE}$，即為$\frac{AD}{3}$=$\frac{12}{9}$，
解得AD=4，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{36-24}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的切割線定理和三角形的相似的判定和性質(zhì)的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．