Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

其中n=1，2，3，…
（1）求a₁與通項公式a_n及S_n
（2）記xn=

2n

Sn

，求數(shù)列{x_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可化為an-4an-1=2n．變形為an+2n=4(an-1+2n-1)，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

)-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，化為an-4an-1=2n．
∴an+2n=4(an-1+2n-1)，
又a₁+2=4，∴數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，首項為4，公比為4．
∴an+2n=4n，解得an=4n-2n．
S_n=

4

3

(4n-2n)-

1

3

×2n+1+

2

3

=

4n+1

3

-2n+1+

2

3

．
（2）由（1）可得x_n=

2n

2 3 [2•(2n)2-3•2n+1]

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴T_n=

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)．

點評：本題考查了利用“當n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．