【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M為AA1的中點,P是BC上的一點,且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為,設(shè)這條最短路線與CC1的交點為N.求:
(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線的長;
(2)PC和NC的長.
【答案】(1) (2) PC=2, NC=
【解析】
(1)由題意結(jié)合展開圖的特征求解其對角線長即可;
(2)首先畫出其展開圖,然后結(jié)合展開圖的幾何特征即可求得PC和NC的長.
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9,寬為4的矩形,
其對角線的長為.
(2)
如圖所示,將平面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點P運動到點P1的位置,連接MP1,則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線.
設(shè)PC=x,則P1C=x.
在Rt△MAP1中,
在勾股定理得(3+x)2+22=29,
求得x=2.
∴PC=P1C=2.
∵=,
∴NC=
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【題目】如圖,在正方體中,,,分別是,,的中點.
(1)求異面直線與所成角的大小;
(2)棱上是否存在點,使平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】下列命題中,正確的為________(正確序號全部填上)
(1)空間中,一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,則這兩個角相等或互補;
(2)一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面分別垂直,則這兩個二面角相等或互補;
(3)直線,為異面直線,所成角的大小為,過空間一點作直線,使l與直線及直線都成相等的角,這樣的直線可作3條;
(4)直線與平面相交,過直線可作唯一的平面與平面垂直.
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【題目】為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位:噸)對價格(單位:千元/噸)和利潤的影響,對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
8 | 6 | 5 | 4 | 2 |
已知和具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2.2千元,假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出,預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時,年利潤取到最大值?
參考公式: .
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【題目】若數(shù)列同時滿足條件:①存在互異的使得(為常數(shù));
②當(dāng)且時,對任意都有,則稱數(shù)列為雙底數(shù)列.
(1)判斷以下數(shù)列是否為雙底數(shù)列(只需寫出結(jié)論不必證明);
①; ②; ③
(2)設(shè),若數(shù)列是雙底數(shù)列,求實數(shù)的值以及數(shù)列的前項和;
(3)設(shè),是否存在整數(shù),使得數(shù)列為雙底數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè),是兩條不同的直線,,,是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,,則
②若,,,則
③若,,則
④若,,則
其中正確命題的序號是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【題目】2018年,在《我是演說家》第四季這檔節(jié)目中,英國華威大學(xué)留學(xué)生游斯彬的“數(shù)學(xué)之美”的演講視頻在微信朋友圈不斷被轉(zhuǎn)發(fā),他的視角獨特,語言幽默,給觀眾留下了深刻的印象.某機構(gòu)為了了解觀眾對該演講的喜愛程度,隨機調(diào)查了觀看了該演講的140名觀眾,得到如下的列聯(lián)表:(單位:名)
男 | 女 | 總計 | |
喜愛 | 40 | 60 | 100 |
不喜愛 | 20 | 20 | 40 |
總計 | 60 | 80 | 140 |
(1)根據(jù)以上列聯(lián)表,問能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與喜愛該演講有關(guān).(精確到0.001)
(2)從這60名男觀眾中按對該演講是否喜愛采取分層抽樣,抽取一個容量為6的樣本,然后隨機選取兩名作跟蹤調(diào)查,求選到的兩名觀眾都喜愛該演講的概率.
附:臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.705 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且,現(xiàn)有如下四個結(jié)論:
;平面;
三棱錐的體積為定值;異面直線所成的角為定值,
其中正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:
(1) 證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2) 求使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值;
(3) 如果常數(shù)0 < t < 3,對于任意的正整數(shù)k,都有成立,求t的取值范圍.
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