Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥平面DEF；
（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明：PC⊥DF，DE⊥PC，利用線面垂直的判定定理證明PC⊥平面DEF；
（2）證明AD⊥平面PBD，即可求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

解答： （1）證明：∵PD=DC，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，
∴PC⊥DF，
∵四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BCD=90°
∴DE⊥平面PDC，
∴DE⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面DEF；
（2）解：∵DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
∴AD⊥DB，
∵PD⊥AD，PD∩DB=D，
∴AD⊥平面PBD
∴AD=

2

為點(diǎn)A到平面PBD的距離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，正確證明線面垂直是關(guān)鍵．