Question

13．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$，（t為參數(shù)）與圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}$，（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點，
（1）求弦長|AB|；
（2）設P（m，0）．m∈R，求||PA|-|PB||的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的普通方程，得出圓心和半徑，求出直線l的普通方程，計算圓心到直線的距離，使用垂徑定理計算弦長；
（2）根據(jù)三角形知識可知當A，B．P三點共線時，||PA|-|PB||取得最大值|AB|．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$，（t為參數(shù)），∴x+y=3，∴直線l的普通方程為x+y-3=0．
由C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}$，（θ為參數(shù)），∴（x-1）²+（y-1）²=2，即圓C的圓心為（1，1），半徑為$\sqrt{2}$．
∴圓心（1，1）到直線l：x+y-3=0的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．
（2）當A，B，P三點共線時，||PA|-|PB||=|AB|，當A，B，P三點不共線時||PA|-|PB||＜|AB|．
∴||PA|-|PB||的最大值為|AB|=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎題．