Question

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-

1

x

（I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，若存在實(shí)數(shù)x₃＞0，使得f′（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

分析：（I）由題意知f（x）與g（x）在公共點(diǎn)處的切線方程為y=x-1，欲證y=x-1就是左同旁切線方程，即證1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0），下面通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可證出結(jié)果；
（II）利用反證法進(jìn)行證明，令x₃≤x₁，則x₃=

x2-x1

ln x2 x1

≤x₁，從而可得x₂-x₁≤x₁ln

x2

x1

＜x₁（

x2

x1

-1）=x₂-x₁，由此得證．

解答：解：（I）欲證y=x-1就是左同旁切線方程，即證1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）．
先構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x+1（x＞0），則h'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函數(shù)在x=1處h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再構(gòu)造函數(shù)φ（x）=lnx-1+

1

x

（x＞0），則φ′（x）=

x-1

x2

，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1處φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+

1

x

≥0，即lnx≥1-

1

x

（x＞0）．
故對任意x∈（0，+∞），恒有1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）成立，
即y=x-1就是左同旁切線方程．（6分）
（II）因?yàn)閒′（x）=

1

x

，所以f′（x₃）=

1

x3

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，所以x₃=

x2-x1

ln x2 x1

．
令x₃≤x₁，則x₃=

x2-x1

ln x2 x1

≤x₁，
∴x₂-x₁≤x₁ln

x2

x1

＜x₁（

x2

x1

-1）=x₂-x₁，
顯然自相矛盾，故x₁＜x₃；同理可證x₃＜x₂．
故x₁＜x₃＜x₂．（12分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查新定義，考查函數(shù)的最值，正確理解新定義是關(guān)鍵．