（本小題滿分14分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點(diǎn)，
（ⅰ）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

（I）.（II）（�。┲本�AE過定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.

解析試題分析：（I）由拋物線的定義知，
解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
可得，即，直線AB的斜率為，
根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
整理可得，
直線AE恒過點(diǎn).
注意當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn)，
得到結(jié)論：直線AE過定點(diǎn).
（ⅱ）由（�。┲�，直線AE過焦點(diǎn)，
得到，
設(shè)直線AE的方程為，
根據(jù)點(diǎn)在直線AE上，
得到，再設(shè)，直線AB的方程為，
可得，
代入拋物線方程得，
可求得，，
應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為.
從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析：（I）由題意知
設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，
因為，
由拋物線的定義知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以拋物線C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
因為，則，
由得，故，
故直線AB的斜率為，
因為直線和直線AB平行，
設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
由題意，得.
設(shè)，則，.
當(dāng)時，，
可得直線AE的方程為，
由，
整理可得，
直線AE恒過點(diǎn).
當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn)，
所以直線AE過

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線段ON，CN的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W：上；
（2）設(shè)直線l：與橢圓W：有兩個不同的交點(diǎn)P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點(diǎn)S，T，求的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，曲線C1是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．曲線C2是以O(shè)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角，若|AF1|＝，|AF2|＝．

(1)求曲線C1和C2的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)C是C2上一點(diǎn)，若|CF1|＝|CF2|，求△CF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖，已知拋物線，過點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(1)證明：動點(diǎn)在定直線上；
(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個交點(diǎn)為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于直線上一點(diǎn)P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn), 過點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線的方程及的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)是曲線上的動點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記直線與的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.

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