Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx

（a，b∈Z），滿足f（1）=2，f（2）=3．
（1）求ab的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）分別代入構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解得即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)來判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax2+1

bx

（a，b∈Z），滿足f（1）=2，f（2）=3．
∴

a+1

b

=2，

4a+1

2b

=3，
解得a=2，b=

3

2

，
∴ab=2×

3

2

=3，
（2）由（1）得f（ x）=

4x2+2

3x

=

4

3

x+

2

3x

，
∴f′（x）=

4

3

-

2

3x2

=

2(x- 2 2 )(x+ 2 2 )

3x2

，
令f′（x）=0，解得x=

2

2

，或x=-

2

2

，
當(dāng)f′（x）＞0，得x＞

2

2

，或x＜-

2

2

，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，得-

2

2

＜x＜

2

2

，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-

2

2

）上單調(diào)遞增，在[-

2

2

，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．