Question

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。

（I）證明：；

（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，以及桉樹的極值，進(jìn)而證明。

(2) 當(dāng)時(shí)，所以且

即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

【解析】

試題分析：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),

所以有三個(gè)互異的實(shí)根.  

設(shè)則

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù);

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.  （3分）

當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611015103225921/SYS201305261102468135226426_DA.files/image028.png">有三個(gè)不同實(shí)根, 所以且.

即,且,

解得且故.                 （5分）

（II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn).

不妨設(shè)為（），則

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,

若在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則, 或,

若,則.由（I）知，,于是

若,則且.由（I）知，

又當(dāng)時(shí)，;

因此, 當(dāng)時(shí)，所以且

即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.             （10分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題。