Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是減函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． （0，1）
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $[\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性得到2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，設(shè)h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）是減函數(shù)，∴0＜a＜1，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=1+lnx-2ax≤0，
2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，設(shè)h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
則h′（x）=$\frac{-lnx}{x^2}$=0，x=1，
故h（x）在x=1處取得最大值1，
2a≥1，a≥$\frac{1}{2}$，
又a＞f（1）=-a，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．