Question

12．設k∈R，函數(shù)f（x）=lnx-kx．
（Ⅰ）若k=1，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若f（x）無零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）當k＜0時，由f（1）f（e^k）＜0可知函數(shù)有零點，不符合題意；當k=0時，函數(shù)f（x）=lnx有唯一零點x=1有唯一零點，不符合題意；當k＞0時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）k=1時，f（x）=lnx-x，f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_極大值=f（1）=0；
（Ⅱ）①若k＜0時，則f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-k＞0，f（e^k）=k-ke^k=k（1-e^k）＜0，
∴f（1）•f（e^k）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1；
③若k＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{k}$）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（$\frac{1}{k}$，+∞）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$-1=-lnk-1，
由于f（x）無零點，須使f（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1＜0，解得：k＞$\frac{1}{e}$，
故所求實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．