3．若正數(shù) x，y，z 滿足 x+2y+3z=1，則$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值為9．

分析 原題意可轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]．利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵正數(shù) x，y，z 滿足 x+2y+3z=1，
∴（x+z）+2（y+z）=1，
∴$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$=$\frac{（x+z）+2（y+z）}{x+z}$+$\frac{8（x+z）}{y+z}$=1+2[$\frac{y+z}{x+z}$+$\frac{4（x+z）}{y+z}$]≥1+8=9，
當且僅當y+z=2（x+z）=$\frac{2}{5}$時取等號，
故$\frac{1}{x+z}+\frac{8（x+z）}{y+z}$的最小值為9，
故答案為：9

點評 本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．

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