Question

已知，

（Ⅰ）當(dāng)時，若在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求值；

（Ⅱ）對任意恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，先將代入得到和表達(dá)式，求導(dǎo)，將已知轉(zhuǎn)化為，，轉(zhuǎn)化恒成立問題，從而求出k的值；第二問，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，確定a的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，，，，

在上為減函數(shù)，則，∴，

在上是增函數(shù)，則，∴，

（6分）

（Ⅱ）設(shè)，

則，設(shè)則，

（1）當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，在不恒成立；

（2）當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，的函數(shù)值由負(fù)到正，必有即，兩邊取自然對數(shù)得，，

所以，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，

所以，

因此，即a的取值范圍是. （12分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.