Question

某工廠引入一條生產(chǎn)線，投人資金250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本w（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80干件時(shí)，w（x）=

1

3

x²+10x（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，w（x）=51x+

10000

x

-1450（萬(wàn)元），當(dāng)每件商品售價(jià)為500元時(shí)，該廠產(chǎn)品全部售完．
（Ⅰ）寫(xiě)出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)該廠的利潤(rùn)最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得x千件銷售額0.05×1000x=50x萬(wàn)元，從而寫(xiě)出0＜x＜80和x≥80時(shí)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而用分段函數(shù)表示出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）由題意分別求0＜x＜80和x≥80時(shí)函數(shù)的最大值，從而確定年產(chǎn)量為多少千件時(shí)該廠的利潤(rùn)最大．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元時(shí)，x千件銷售額0.05×1000x=50x（萬(wàn)元）
當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=50x-（

1

3

x²+10x）-250=-

1

3

x²+40x-250；
當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=50x-（51x+

10000

x

-1450）-250=1200-（x+

10000

x

）；
故L（x）=

- 1 3 x2+40x-250，0＜x＜80 1200-(x+ 10000 x )，x≥80

；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=-

1

3

x²+40x-250；
當(dāng)x=60時(shí)，L（x）有最大值為950；
當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200-（x+

10000

x

）；
當(dāng)且僅當(dāng)x=

10000

x

，即x=100時(shí)，
L（x）有最大值為1000；
∴年產(chǎn)量為100千件時(shí)該廠的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．