Question

已知函數(shù)f（x）=2k²x+k，x∈[0，1]，函數(shù)g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，x∈[-1，0]．當(dāng)k=6時，對任意x₁∈[0，1]，是否存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．若k=2呢？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把k=6分別代入兩個函數(shù)解析式，求出f（x）在[0，1]上的值域，g（x）在[-1，0]上的值域，由f（x）在[0，1]上的值域是g（x）在[-1，0]上的值域的子集說明對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．同樣的辦法說明k=2時，對任意x₁∈[0，1]，不存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

解答： 解：當(dāng)k=6時，f（x）=72x+6，
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）∈[6，78]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5=3x²-86x+5，
當(dāng)x∈[-1，0]時，g（x）∈[5，94]，
∵[6，78]⊆[5，94]，
∴對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立；
當(dāng)k=2時，f（x）=8x+2，
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）∈[2，10]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5=3x²-14x+5，
當(dāng)x∈[-1，0]時，g（x）∈[5，22]，
∵[6，78]?[5，94]，
∴對任意x₁∈[0，1]，不一定存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)在不同定義域內(nèi)的值域間的關(guān)系問題，是中檔題．