Question

5．下列函數(shù)中，值域為[1，+∞）的是（　�。�

• A． y=2^x+1
• B． y=$\sqrt{x-1}$
• C． y=$\frac{1}{|x|}$+1
• D． y=x+$\sqrt{x-1}$

Answer 1

分析 前三項都可由解析式看出值域：y=2^x+1＞0，y=$\sqrt{x-1}≥0$，y=$\frac{1}{|x|}+1＞1$，從而判斷出這三項不正確，對于D，先得到$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$，兩個不等式相加便可得到$x+\sqrt{x-1}≥1$，這樣便可得出該函數(shù)的值域，即得出D正確．

解答 解：A.2^x+1＞0，∴y=2^x+1的值域為（0，+∞），∴該選項錯誤；
B.$\sqrt{x-1}≥0$，∴$y=\sqrt{x-1}$的值域為[0，+∞），∴該選項錯誤；
C．|x|＞0；
∴$\frac{1}{|x|}＞0$；
∴$\frac{1}{|x|}+1＞1$；
∴$y=\frac{1}{|x|}+1$的值域為（1，+∞），∴該選項錯誤；
D．x-1≥0；
∴$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$；
∴$x+\sqrt{x-1}≥1$；
即y≥1；
∴$y=x+\sqrt{x-1}$的值域為[1，+∞），∴該選項正確．
故選：D．

點評 考查函數(shù)值域的概念，指數(shù)函數(shù)的值域，以及反比例函數(shù)的值域，一次函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求值域的方法．