Question

20．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=4，BC=CD=2，∠BCD=120°，AB⊥平面BCD，則球O的表面積為32π．

Answer 1

分析 取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．

解答 解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，
∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，
△BCD的外心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，
∵BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴BD=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2
∴R=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
四面體ABCD外接球的表面積為：4πR²=32π．
故答案為：32π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想象能力，確定球的半徑是解題的關(guān)鍵．