Question

11．已知函數(shù)f（x）=3^x+k•3^-x為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（9${\;}^{a{x}^{2}-2x}$-1）+f（1-3^ax-2）＜0只有一個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定義域為R，而f（x）又是奇函數(shù)，從而有f（0）=0，這樣便可求出k=-1；
（2）得出f（x）=3^x-3^-x，求導(dǎo)數(shù)并可判斷f′（x）＞0，從而得出f（x）在R上單調(diào)遞增，從而可以由$f（{9}^{a{x}^{2}+2x}-1）+f（1-{3}^{ax-2}）＜0$得到${9}^{a{x}^{2}-2x}-1＜{3}^{ax-2}-1$，進一步便可得出（2x-1）（ax-2）＜0．而由該不等式只有一個整數(shù)解便可得到a＞0，并得到前面不等式的解為$（\frac{1}{2}，\frac{2}{a}）$，這樣便可得出$1＜\frac{2}{a}≤2$，解該不等式即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）定義域為R，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（0）=1+k=0；
∴k=-1；
（2）f（x）=3^x-3^-x，f′（x）=3^xln3+3^-xln3＞0；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
又f（x）為奇函數(shù)；
∴由$f（{9}^{a{x}^{2}-2x}-1）+f（1-{3}^{ax-2}）＜0$得，$f（{9}^{a{x}^{2}-2x}-1）＜f（{3}^{ax-2}-1）$；
∴${9}^{a{x}^{2}-2x}-1＜{3}^{ax-2}-1$；
∴${3}^{2（a{x}^{2}-2x）}＜{3}^{ax-2}$；
∴2x（ax-2）＜ax-2；
∴（2x-1）（ax-2）＜0，該不等式只有一個整數(shù)解；
∴a＞0；
∴上面不等式變成$（x-\frac{1}{2}）（x-\frac{2}{a}）＜0$；
∵上面不等式只有一個整數(shù)解；
∴該不等式的解為（$\frac{1}{2}，\frac{2}{a}$）；
∴$1＜\frac{2}{a}≤2$；
解得1≤a＜2；
∴實數(shù)a的取值范圍為[1，2）．

點評 考查奇函數(shù)的概念，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時，f（0）=0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性定義解不等式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．