Question

如圖，在正三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD=

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AC，AE=

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3

AB，BD，CE相交于點F．
（I）求證：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；
（Ⅱ）若正三角形ABC的邊長為3，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）由已知得BE=

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AB，AD=BE，△BAD≌△CBE，從而∠ADB=∠BEC，進而∠ADF+∠AEF=π，由此能證明A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）取AE中點G，連結(jié)GD，則GA-GE=

1

2

AE，由已知得△AGD為正三角形，從而GA=GE=GD=1，能求能求出A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑為1．

解答： （Ⅰ）證明：∵AE=

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AB，∴BE=

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AB，
在正△ABC中，AD=

1

3

AC，∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，
∴A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）解：如圖，取AE中點G，連結(jié)GD，則GA-GE=

1

2

AE，
∵AE=

2

3

AB，∴GA=GE=

1

3

AB=1，
∵AD=

2

3

AC=1，∠DAE=60°，∴△AGD為正三角形，
∴GD=AG=AD=1，即GA=GE=GD=1，
∴G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為1，
∴A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑為1．

點評：本題考查四點共圓的證明，考查圓半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運用．