Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+a²-2，a∈R
（Ⅰ）若f（x）是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，求a的值
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（1）-a²+|log₈（x+1）|，若g（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有兩個不同的零點m，n，求a的取值范圍，并求$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得a=$±\sqrt{2}$，令f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立可得出a的范圍，從而得出a的值；
（II）令g（x）=0可得|log₈（x+1）|=a-1，作出y=|log₈（x+1）|的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可得出a-1的范圍，從而得出a的范圍，根據(jù)g（m）=g（n）=0得出m，n的關(guān)系，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可得出$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$的值．

解答 解：（I）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0，
即a²-2=0，解得a=±$\sqrt{2}$．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤x²在（0，+∞）上恒成立，∴a≤0．
∴a=-$\sqrt{2}$．
（II）g（x）=f（1）-a²+|log₈（x+1）|=a-1+|log₈（x+1）|，
令g（x）=0得|log₈（x+1）|=1-a，則方程|log₈（x+1）|=1-a在（-1，1）上有兩解，
作出y=|log₈（x+1）|的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程|log₈（x+1）|=1-a在（-1，1）上有兩解，
∴0＜1-a＜$\frac{1}{3}$，即$\frac{2}{3}$＜a＜1．
設(shè)m＜n，則-1＜m＜0＜n＜1，
∵g（m）=g（n）=0，
∴l(xiāng)og₈（m+1）+log₈（n+1）=0，即（m+1）（n+1）=1，
∴mn+m+n=0，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．