Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）若x∈（$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{6}$）時(shí)，f（x）=-$\frac{6}{5}$，求cos2x的值
（3）若cosx$≥\frac{1}{2}$，x∈（0，π），且f（2x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)量積得到三角函數(shù)解析式并化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到f（x）的解析式，借助于正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）的結(jié)論，得到sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，展開(kāi)解方程組得到cos2x；
（3）由cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，π），解出x的取值范圍，作出符合條件的f（2x）的圖象，變f（2x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根的問(wèn)題為兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，由圖即可得到參數(shù)的取值范圍

解答 解：（1）函數(shù)f（x））=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx-2cos²ωx+1
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得k$π-\frac{π}{6}$≤x≤k$π+\frac{π}{3}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由（1）得到x∈（$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{6}$）時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3}{2}π$），f（x）=-$\frac{6}{5}$，
得到sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=-$\frac{3}{5}$①
$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{4}{5}$②
由①②組成方程組解得：cos2x=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（3）∵cosx≥$\frac{1}{2}$，又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在（0，π）上是減函數(shù)，∴x∈（0，$\frac{π}{3}$]
又f（2x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），設(shè)g（x）=m，在同一直角坐標(biāo)系中
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可知：m=1或m=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求解的重點(diǎn)是從圖象觀察出函數(shù)的周期、最值、及點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何特征來(lái)，然后根據(jù)相關(guān)的公式求出解析式中的參數(shù)，本題中考查了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)算，如第三小問(wèn)中將方程有一個(gè)根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，從而可以用圖象法解決問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速達(dá)成問(wèn)題的求解．