Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差依次組成等比數(shù)列，稱該等比數(shù)列為數(shù)列{a_n}的“差等比數(shù)列”，記為數(shù)列{b_n}．設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2，公比為q（q為常數(shù)）．
（I）若q=2，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（II）a₁與q滿足什么條件，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（III）若a₁=1，數(shù)列{a_n+c_n}是公差為q的等差數(shù)列，且c₁=q，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；并證明當(dāng)1＜q＜2時(shí)，c₅＜-2q²．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=1，a₁₅=15．（寫(xiě)出滿足條件的一組即可）…（2分）
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=2，公比為q，，所以b₂=2q，b₃=2q²，
所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
所以，即（a₁+2）²=a₁×（a₁+2+2q）
所以．
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（5分）
（Ⅲ）因?yàn)閧a_n+c_n}是公差為q的等差數(shù)列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q
∵a_n-a_n-1=2q^n-2，
∴c_n-c_n-1=q-2q^n-2，
∴c_n=c₁+（c₂-c₁）+…+（c_n-c_n-1）=nq-2（q^n-2+2q^n-3+…+q+1）=nq-
∴c₅=5q-=-2q³-2q²+3q-2
∴c₅-（-2q²）=2q（1-q²）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q²＜0，q-2＜0．
∴c₅-（-2q²）＜0
∴c₅＜-2q²． …（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=2，q=2，可得b₂=4，b₃=8，由此可求個(gè)數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（Ⅱ）先確定a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q，根據(jù)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可求出公比；
（Ⅲ）先確定c_n-c_n-1=q-2q^n-2，再利用疊加法，即可求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，從而可證明1＜q＜2時(shí)，c₅＜-2q²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查等比數(shù)列的證明，考查疊加法求數(shù)列的和，正確理解新定義是關(guān)鍵．