已知函數(shù)f（x）=2alnx-x2+1
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；
（3）若f（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=2lnx-x2+1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＜0，解不等式，求出即可；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論①當(dāng)
a
≤1②當(dāng)
a
＞1的情況，從而求出函數(shù)的最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當(dāng)0＜a≤1時，f（x）≤f（1）=0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立；當(dāng)a＞1時，由于f（x）在區(qū)間[1，
a
]上是增函數(shù)，從而得到a的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=2lnx-x2+1，
f′（x）=
-2(x2-1)
x
，（x＞0），
令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x2-1＞0，解得：x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=
-2(x2-a)
x
，（x＞0），
令f′（x）=0，由a＞0，解得x1=
a
，x2=-
a
（舍去），
①當(dāng)
a
≤1，即0＜a≤1時，在區(qū)間[1，+∞）上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
所以 函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；        
②當(dāng)
a
＞1，即a＞1時，x在[1，+∞）上變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表
x1（1，
a
）
a
（
a
，+∞）
f′（x）+0-
f（x）0↗alna-a+1↘
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（
a
）=alna-a+1，
綜上所述：當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（
a
）=alna-a+1，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當(dāng)0＜a≤1時，f（x）≤f（1）=0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立；
當(dāng)a＞1時，由于f（x）在區(qū)間[1，
a
]上是增函數(shù)，
∴f（
a
）＞f（1）=0，即在區(qū)間[1，+∞）上存在x=
a
使得f（x）＞0．
綜上所述，a的最大值為1．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：|-x-1|+|-x+1|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）（x∈R）有下列命題：
①把函數(shù)f（x）的圖象沿水平方向右平移
π
12
個單位，可得到函數(shù)y=cos2x的圖象；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（
π
6
，0）對稱；
③把函數(shù)f（x）的圖象上每個點的橫坐標(biāo)縮小到原來的
1
2
，得到函數(shù)y=sin（x+
π
6
）的圖象；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-
5π
12
對稱．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=xlnx．
（1）若函數(shù)f（x）＜0的解集為（1，3），且f（x）的最小值為-1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1，c=2時，若函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）有零點，求實數(shù)b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=ax+
b
x
（a，b∈R），下列命題：
①當(dāng)a＞0，b＞0時，對函數(shù)f（x）圖象上任意一點A，圖象上存在唯一的點B，使得tan∠AOB=
1
a
（O是坐標(biāo)原點）；
②當(dāng)ab≠0時，函數(shù)f（x）圖象上任意一點的切線與直線y=ax及y軸圍成的三角形面積是定值．
正確的是：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線：
y2
4
-x2=1的漸近線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）對于一切實數(shù)x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并證明y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（1）=3，在（2）的情況下，解不等式f（x）＜-9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（-2x+
π
4
），給出以下四個論斷
①函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-
5π
8
對稱；
②函數(shù)圖象一個對稱中心是（
7π
8
，0）；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
8
，
3π
8
]上是減函數(shù)；
④f（x）可由y=sin2x向左平移
π
8
個單位得到
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=
1
2
（|x-a2|+|x-2a2|-3a2），若對于任意的實數(shù)x，都有f（x-1）≤f（x）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、[-
3
6
，
3
6
]
B、[-
6
6
，
6
6
]
C、[-
1
3
，
1
3
]
D、[-
3
3
，
3
3
]

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