Question

如圖，已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分別是A，B，且α∩β=l，．
（Ⅰ）求證：l⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PA=PB=

2

2

AB，判斷平面α與平面β的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）欲證l⊥平面PAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證l與平面PAB內(nèi)兩相交直線垂直，而PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB=P，滿足定理?xiàng)l件；
（II）設(shè)l與平面PAB的交點(diǎn)為H，連接AH，BH，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AHB是二面角α-l-β的平面角，利用勾股定理可證∠AHB=90°，根據(jù)面面垂直的定義可知平面α⊥平面β．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥α，l?α，所以PA⊥l，同理PB⊥l．
又PA∩PB=P，所以l⊥平面PAB．
（Ⅱ）設(shè)l與平面PAB的交點(diǎn)為H，連接AH，BH．
因?yàn)閘⊥平面PAB，所以AH⊥l，BH⊥l，
所以∠AHB是二面角α-l-β的平面角．
又PA=PB=

2

2

AB，所以PA²+PB²=AB²，
即∠AHB=90°．
所以平面α⊥平面β．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的判定等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．