Question

17．已知不等式a（2^x-2^-x）+$\frac{{2}^{2x}+{2}^{-2x}}{2}$≥0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法簡(jiǎn)化不等式，令t=2^x-2^-x，t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，2^2x+2^-2x=t²+2，整理可得a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，根據(jù)函數(shù)y=t+$\frac{2}{t}$的單調(diào)性求出最大值即可．

解答 解：a（2^x-2^-x）+$\frac{{2}^{2x}+{2}^{-2x}}{2}$≥0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
令t=2^x-2^-x，t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，
∴2^2x+2^-2x=t²+2，
∴a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]，
顯然當(dāng)t=$\frac{3}{2}$是，右式取得最大值為-$\frac{17}{12}$，
∴a≥-$\frac{17}{12}$．
故答案為[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查了換元法的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．