Question

8．過拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條直線l和此拋物線相交，兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則：
（1）x₁，x₂的值為多少？
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$
（3）設(shè)三角形AOB的面積為S，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，寫出函數(shù)S=S（θ）的分析式，并求出該函數(shù)的定義域和值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2mpy-p²=0，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論；
（3）利用向量的數(shù)量積公式，三角形的面積公式，可函數(shù)S=S（θ）的解析式，并求出該函數(shù)的定義域和值域．

解答 解：（1）設(shè)直線方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2mpy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∴x₁•x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$；
（3）由（2）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$，
∴|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|=-$\frac{3{p}^{2}}{4cosθ}$，
∴S=S（θ）=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sinθ=-$\frac{3}{8}$p²tanθ，
∵-$\frac{3{p}^{2}}{4cosθ}$＞0，∴cosθ＜0，∴$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
又根據(jù)對稱性，直線垂直于x軸時，tan$\frac{θ}{2}$=2，∴tanθ=-$\frac{4}{3}$，
∴θ=π-arctan$\frac{4}{3}$
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?\frac{π}{2}$，π-arctan$\frac{4}{3}$），
∵tanθ≤-$\frac{4}{3}$，
∴S≥$\frac{1}{2}$p²，∴值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$p²，+∞）．
故答案為：-$\frac{3{p}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．