Question

已知數列{a_n}是正數等差數列，其中a₁=1，且a₂、a₄、a₆+2成等比數列；數列{b_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n+b_n=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果c_n=a_nb_n，設數列{c_n}的前n項和為T_n，是否存在正整數n，使得T_n＞S_n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，求出d=1，從而得到a_n=n．由2S_n+b_n=1，得Sn=

1

2

(1-bn)，由此得到數列{b_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，從而bn=

1

3n

．
（2）cn=anbn=

n

3n

，由此利用錯位相減法求出Tn-Sn=

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

，由此得到所求的正整數n存在，其最小值是2．

解答： （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，且a₂、a₄、a₆+2成等比數列，
∴依條件有a42=a2(a6+2)，
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，解得d=-

1

2

（舍）或d=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（2分）
由2S_n+b_n=1，得Sn=

1

2

(1-bn)，
當n=1時，2S₁+b₁=1，解得b1=

1

3

，
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

1

2

(1-bn)-

1

2

(1-bn-1)=-

1

2

bn+

1

2

bn-1，
所以bn=

1

3

bn-1，
所以數列{b_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，
故bn=

1

3n

．…（5分）
（2）由（1）知，cn=anbn=

n

3n

，
所以Tn=1×

1

3

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

①

1

3

Tn=1×

1

32

+2×

1

33

+3×

1

34

+…+n×

1

3n+1

②
得Tn=

3

4

-

3

4

×

1

3n

-

n

2

×

1

3n

=

3

4

-

2n+3

4

×

1

3n

．…（9分）
又Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

-

1

2×3n

．
所以Tn-Sn=

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

，
當n=1時，T₁=S₁，
當n≥2時，

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

＞0，所以T_n＞S_n，
故所求的正整數n存在，其最小值是2．…（13分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的正整數是否存在的判斷與其最小值的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．