Question

20．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n，（n∈N₊）
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：數列{a_n+3}成等比數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（4）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據遞推公式，代值計算即可，
（2）根據a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1+3=2（a_n+3），判斷出數列{a_n+3}是等比數列，
（3）利用等比數列的通項公式求得a_n+3進而求得a_n．
（4）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，根據等差中項的性質可知2a_p=a_s+a_r，利用（1）中的a_n展開得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，進而根據2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，判斷出假設不成立．故可知不存在這樣的三項．

解答 解：（1）因為S_n=2a_n-3n，
當n=1時，S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
當n=2時，S₂=2a₂-3，解得a₂=6，
（2）因為S_n=2a_n-3n，
所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3）
數列{a_n+3}是等比數列，
（3）由（2）知，數列{a_n+3}是等比數列，
因為a₁+3=6，
所以a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（4）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，
則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項．

點評 題考查數列的通項公式的求法，探索數列{a_n}中是否存在三項成等差數列．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．