Question

（2013•南通二模）為穩(wěn)定房價(jià)，某地政府決定建造一批保障房供給社會(huì)．計(jì)劃用1 600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1 000平方米，每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān)，第x層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為（kx+800）元（其中k為常數(shù)）．經(jīng)測算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1 270元．
（每平方米平均綜合費(fèi)用=

購地費(fèi)用+所有建筑費(fèi)用

所有建筑面積

）．
（1）求k的值；
（2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)將這10幢樓房建成多少層？此時(shí)每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元？

Answer 1

分析：（1）求出每幢樓為5層時(shí)的所有建筑面積，算出所有建筑費(fèi)，直接由每平方米平均綜合費(fèi)用=

購地費(fèi)用+所有建筑費(fèi)用

所有建筑面積

列式求出k的值；
（2）設(shè)小區(qū)每幢為n（n∈N*）層時(shí)，每平方米平均綜合費(fèi)用為f （n），同樣利用題目給出的每平方米平均綜合費(fèi)用的關(guān)系式列出f （n）的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出層數(shù)．

解答：解：（1）如果每幢樓為5層，那么所有建筑面積為10×1000×5平方米，
所有建筑費(fèi)用為[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，
1270=

16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10

10×1000×5

，
解之得：k=50．
（2）設(shè)小區(qū)每幢為n（n∈N*）層時(shí)，每平方米平均綜合費(fèi)用為f （n），由題設(shè)可知
f （n）=

16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10

10×1000×n

=

1600

n

+25n+825≥2

1600×25

+825=1 225（元）．
當(dāng)且僅當(dāng)

1600

n

=25n，即n=8時(shí)等號(hào)成立．
答：該小區(qū)每幢建8層時(shí)，每平方米平均綜合費(fèi)用最低，此時(shí)每平方米平均綜合費(fèi)用為1225元．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和計(jì)算能力，是中檔題．