Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿(mǎn)分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線(xiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）已知點(diǎn)在第一象限，四邊形是曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值，并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）先將曲線(xiàn)化為普通方程，再根據(jù)坐標(biāo)變換規(guī)律，即可求得曲線(xiàn)的普通方程和參數(shù)方程；

（2）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，利用輔助角公式化簡(jiǎn)周長(zhǎng)的解析式，即可求出最大值及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）由得

將代入，整理得曲線(xiàn)的普通方程為，

設(shè)曲線(xiàn)上的點(diǎn)為，變換后的點(diǎn)為

由題可知坐標(biāo)變換為，即代入曲線(xiàn)的普通方程，整理得

曲線(xiàn)的普通方程為 ，

曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

（2）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，

，

且，，

，

．

且當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，

所以，，，此時(shí).