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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）當時，記的最小值為，求證：.

【答案】(1) 函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．(2) 見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，代入參數a的值，即可得到函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）通過對函數求導研究函數的單調性得到，，由得：

，構造函數，對函數求導可得到函數的最值.

（Ⅰ）的定義域是，

.

當時，，

因為函數，單調遞增，且，

所以：當時，，

當時，，

所以：函數的單調遞減區(qū)間為：，單調遞增區(qū)間為：；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，

，

令，則，

在上單調遞增，

因為，

所以，，

故存在，使得，

當時，，故，單調遞減；

當時，，故，單調遞增；

故時，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，則

，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故，即時，取最大值1，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數.

（1）求的值域；

（2）若存在唯一的整數，使得，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若四面體的三組對棱分別相等，即，給出下列結論：

①四面體每組對棱相互垂直；

②四面體每個面的面積相等；

③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；

④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分.

其中正確結論的序號是__________． (寫出所有正確結論的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給出下列4個命題，其中正確命題的序號____________.

①；

②函數有個零點；

③函數的圖象關于點對稱。

④已知，函數的圖象過點，則的最小值是.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（1）求曲線的參數方程；

（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內接矩形，求內接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】通過隨機詢問某地100名高中學生在選擇座位時是否挑同桌，得到如下列聯表：

男生

女生

合計

挑同桌

30

40

70

不挑同桌

20

10

30

總計

50

50

100

Ⅰ從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，現從這5人中隨機選取3人做深度采訪，求這3名學生中至少有2名要挑同桌的概率；

Ⅱ根據以上列聯表，是否有以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑同桌”有關？

下面的臨界值表供參考：

參考公式： ，其中

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，點分別為棱的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面

(Ⅱ)求證：平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角為300?如果存在，求出線段的長；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點A（4，t）到其焦點F的距離為5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）過點F作直線l，使得拋物線C上恰有三個點到直線1的距離為2，求直線1的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0．當直線l被圓C截得的弦長為時，求

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

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