Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x+sinx（x∈R），f（x₁）+f（x₂）＞0，則下列不等式正確的是（　�。�

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＜x₂
• C、x₁+x₂＜0
• D、x₁+x₂＞0

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先證明函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)，是奇函數(shù)，由f（x₁）+f（x₂）＞0即可推得x₁+x₂＞0．

解答： 解：∵f（x）=x³+2x+sinx
∴f′（x）=3x²+2+cosx=3x²+（2+cosx）
∵3x²≥0，2+cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)；
又因?yàn)閒（-x）=（-x）³+2（-x）+sin（-x）=-x³-2x-sinx=-（x³+2x+sinx）=-f（x）
所以有：f（x₁）+f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）⇒x₁＞-x₂⇒x₁+x₂＞0
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的判定，屬于中檔題．