Question

在四棱錐P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°．E在棱PD上，滿足PE=2DE，M是AB的中點．
（1）求證：平面PAB⊥平面PMC；
（2）求證：直線PB∥平面EMC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形點M是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的‘三線合一’的性質(zhì)，我們易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）連BD交MC于F，連EF，由CD=2BM，CD∥BM，我們可以得到△CDF∽△MBF，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，可以得到DF=2BF．再根據(jù)DE=2PE，結(jié)合平行線分線段成比例定理，易判斷EF∥PB，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵PA=PB，M是AB的中點．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
則：CM⊥AB
又∵PM∩CM=M
∴AB⊥平面PAB
∴平面PAB⊥平面PMC
（2）連結(jié)BD交MC于F，連結(jié)EF
由CD=2BM  CD∥BM
易得：△CDF∽△MBF
∴DF=2BF
DE=2PE
∴EF∥PB
EF?平面EMC  PB?平面EMC
∴PB∥平面EMC

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，及三角形的相似問題．