Question

求函數(shù)y=（

1

4

）^x-（

1

2

）^x+1，x∈[-3，2]的單調(diào)區(qū)間，并求它的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=(

1

2

)x，將原函數(shù)化為二次函數(shù)y=t²-t+1，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可

解答： 解：∵y=(

1

4

)x-（

1

2

）^x+1，∴令t=(

1

2

)x，∵x∈[-3，2]，∴t∈[

1

4

，8]
∴原函數(shù)可化為y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，（t∈[

1

4

，8]，）∴t=

1

2

是對(duì)稱軸
∵x∈[-3，1]時(shí)，x增大⇒t=(

1

2

)x遞減，且t∈[

1

2

，8]，⇒y=（t-

1

2

）²+

3

4

遞減
∴[-3，1]是函數(shù)y=（

1

4

）^x-（

1

2

）^x+1的遞減區(qū)間，同理，[1，2]是函數(shù)的遞增區(qū)間
∴y_min=

3

4

，y_max=57
故原函數(shù)遞減區(qū)間是[-3，1]，遞增區(qū)間是[1，2]，值域是[

3

4

，57]

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．