Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+4ln x的極值點為1和2．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在定義域上的極大值、極小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）的極值點，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：f′（x）=2ax+b+$\frac{4}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+bx+4}{x}$，x∈（0，+∞），
（1）∵y=f（x）的極值點為1和2，
∴2ax²+bx+4=0的兩根為1和2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{2a}}\\{1×2=\frac{4}{2a}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-6．
（2）由（1）得：f（x）=x²-6x+4lnx，
函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（1）=-5，f（x）_極小值=f（2）=-8+4ln2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．