Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）記b_n=a_n+1，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵b_n=a_n+1，∴b_n+1=3b_n，
又b₁=a₁+1=3，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，∴．
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n）
其中1+2+…+n==，
記+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ ①
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹ ②
兩式相減得-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=，
∴．
∴．
分析：（I）由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．可得數(shù)列{b_n}是以a₁+1=3為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
（II）由（I）可得：得，于是．從而S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n），對于前一個括號用“錯位相減法”即可求出，后一個括號利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．
點評：熟練掌握變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、“錯位相減法”、等差數(shù)列的前n項和公式事件他的關(guān)鍵．