Question

5．函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期為m，函數(shù)g（x）=sin³x-sinx的最大值為n，則mn=$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 首先把三角函數(shù)變形成f（x）=$\sqrt{1+|sin2x|}$的形式，進一步求出函數(shù)的最小正周期m的值．令t=sinx∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=h（t）=t³-t，利用導數(shù)求得它的最大值，可得n的值，從而求得mn的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|=$\sqrt{1+|sin2x|}$，∴它的最小正周期為m=$\frac{π}{2}$，
∵令t=sinx∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=h（t）=t³-t，
求得 h′（t）=3t²-1=0，∴t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在區(qū)間（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上，h′（t）＜0，故h（t）的減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
在區(qū)間（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）上，h′（t）＞0，故h（t）的增區(qū)間為[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
故當t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，函數(shù)h（t）取得極大值為$\frac{\sqrt{3}}{9}$π，又h（1）=0，故h（t）的最大值為n=${（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
則mn=$\frac{π}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，求得|sinx|+|cosx|=$\sqrt{1+|sinx|}$是解題的關鍵；還考查利利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．