己知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
（1）求a2，a3；
（2）設(shè)bn=a2n-2，n∈N*，求證{bn} 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S．
【答案】分析：（1）直接把n=2，3代入數(shù)列遞推公式即可求出a2，a3；
（2）由題意可得bn+1=a2n+2-2=a2n+1+（2n+1）-2=a2n-1=bn，然后根據(jù)比數(shù)列來求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）把數(shù)列{an}中的所有項都用數(shù)列{bn}的通項表示出來，再采用分組求和法求其前100項的和即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，=，a3=a2-4=，（4分）
（Ⅱ）∵=
===    （6分）
∵     （9分）
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且= （l0分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a2n=bn+2=（n=1，2，…50）（12分）
∴S=a2+a4+…+a100=2×50
==99+（14分）
點評：題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及數(shù)列求和的分組求和法，是對數(shù)列知識的綜合考查，具有一定的綜合性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•自貢一模）己知數(shù)列{an}滿足a1，an+1=
an3an+1
．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
1
2
an+n，n為奇數(shù)
an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a2，a3；
（2）設(shè)bn=a2n-2，n∈N*，求證{bn} 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（I ）求g（x）=
f(x+1)
x+1
-x(x∈(-1，+∞))的單調(diào)區(qū)間與極大值；
（II ）任取兩個不等的正數(shù)x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
成立，求證：x1＜x0＜x2
（III）己知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=（1+
1
2n
）an+
1
n2
（n∈N+），求證：an＜e
11
4
（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=n，（n∈N*），則數(shù)列{an}的前2016項的和S2016的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足a1=-42，an+1+(-1)nan=n，(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前2013項的和S2013的值是
 
．

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