Question

已知正數(shù)x，y滿足 x+y+

1

x

+

9

y

=10，則x+y的最大值為

8

．

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵是把（x+y）當(dāng)做一個(gè)整體，通過基本不等式，化為關(guān)于（x+y）的不等式，進(jìn)而求解．

解答：解：因?yàn)?span id="jremao9" class="MathJye">x+y+

1

x

+

9

y

=10，
所以(x+y)(x+y+

1

x

+

9

y

)=10(x+y)
即(x+y)2+

x+y

x

 +

9(x+y)

y

=10(x+y)，
化簡得(x+y)2+

y

x

+

9x

y

+10=10(x+y)             (1)
因?yàn)?span id="m89slf5" class="MathJye">

y

x

+

9x

y

≥2

y x • 9x y

=6，（當(dāng)且僅當(dāng) y=3x 時(shí) 取等號(hào)）
所以 （1）式化為（x+y）²+6+10≤10（x+y）
即（x+y）²-10（x+y）+16≤0
解得2≤x+y≤8，
由

y=3x x+y=8

，解得

x=2 y=6

所以 當(dāng)x=2，y=6時(shí)，x+y的最大值為8

點(diǎn)評(píng)：本題為基本不等式的應(yīng)用與不等式解法的綜合，屬中檔題．