Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）當(dāng)m≤1時，曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線l與C有且只有一個公共點，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，（x＞-1）
∴=-
∴x∈（-1，-）時，f′（x）＞0；x∈（-，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的極值點是x=-；
（2）f′（x）=mx-2+，∴f′（0）=-1，∴切線L：y=-x+1
∵切線L與C有且只有一個公共點，∴mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解，顯然x=0時成立．
令g（x）=mx²-x+ln（x+1），則g′（x）=
①當(dāng)m=1時，g′（x）≥0，函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)增，x=0是方程唯一實數(shù)解；
②當(dāng)m＜1時，由g′（x）=0得x₁=0，x₂=-1∈（-∞，-1）∪（0，+∞），從而有x=x₂是極值點，因此g（x）=0還有一個不是0的解，矛盾
綜上知，m=1．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的極值點；
（2）先求切線方程為y=-x+1，再由切線L與C有且只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解，從而可求實數(shù)m的范圍．
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．