Question

14．如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為1₁，1₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于1₁的直線分別交1₁，1₂于A，B兩點(diǎn)，若|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|依次成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，即可求出離心率．

解答 解：由題意，∵|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|依次成等差數(shù)列，
∴2|AB|=|OB|+|OA|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵2|AB|=|OB|+|OA|
∴|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴tan∠AOB=$\frac{4}{3}$
而由對(duì)稱性可知：OA的斜率為k=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$∠AOB）
∴$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴2k²+3k-2=0，∴k=$\frac{1}{2}$（k=-2舍去）；
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2b，
∴c=$\sqrt{5}$b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，由|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．