Question

若x＞y＞0，則

2

x3+

3

xy-y2

的最小值為

10

．

Answer 1

分析：原式可變形為：

2

x3+

3

xy-y2

=

2

x3+

3

y(x-y)

≥

2

x3+

3

( y+x-y 2 )2

=

2

x3+

12

x2

，然后拆項使積為常數(shù)，再利用基本不等式可得最小值．

解答：解：因為x＞y＞0，
所以

2

x3+

3

xy-y2

=

2

x3+

3

y(x-y)

≥

2

x3+

3

( y+x-y 2 )2

=

2

x3+

12

x2

，
當且僅當y=x-y，即x=2y①時取等號，
又

2

x3+

12

x2

=

2

2

x3+

2

2

x3+

4

x2

+

4

x2

+

4

x2

≥5

5	2 2 x3• 2 2 x3• 4 x2 • 4 x2 • 4 x2

=5×2=10，
當且僅當

2

2

x3=

4

x2

②時取等號，
由①②得x=

2

，y=

2

2

．
所以

2

x3+

3

xy-y2

的最小值為10．
故答案為：10．

點評：本題考查運用基本不等式求最值問題，使用條件為：“一正、二定、三相等”，注意多次使用不等式時須保證等號能同時取到．