Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

（1）求a_n（2）設(shè)bn=

2n-1

sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件得到s_n-s_n-1+2s_n•s_n-1=0進而整理得到{

1

sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列求出S_n，再根據(jù)前n項和與通項之間的關(guān)系即可求出結(jié)論；（注意看第一項能否合并）
（2）先求數(shù)列{b_n}的通項公式，再利用乘公比錯位相減法求和即可得到答案．

解答：解：因為：an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

所以：s_n-s_n-1+2s_n•s_n-1=0⇒

1

sn

-

1

sn-1

=2．
∴{

1

sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；
∴

1

sn

=2+2（n-1）=2n⇒sn=

1

2n

．
∴n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

．
而a1=

1

2

不適合上式．
∴an=

1 2 (n=1) -1 2n(n-1) (n≥2)

（6分） 
 （2）∵bn=

2n-1

sn

=2n•2^n-1，
∴T_n=2（1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）
∴2T_n=2（1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）．
兩式相減可得，-T_n=2（1×2⁰+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ）=2×[

1×(1-2 n)

1-2

-n•2ⁿ]=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（6分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造等差數(shù)列；而乘公比錯位相減求數(shù)列的和是數(shù)列部分的重要方法，要注意掌握．