Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A （1，0）．
（Ⅰ）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁與圓C相交于P，Q兩點，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過直線l₁的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，即可求l₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為kx-y-k=0，求出圓心到直線的距離，弦長，得到三角形CPQ的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時的距離，然后求出直線的斜率，即可得到l₁的直線方程．

解答：解：（Ⅰ） ①若直線l₁的斜率不存在，則直線l₁：x=1，符合題意．
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得 k=

3

4

．
所求直線l₁的方程是x=1或3x-4y-3=0．
（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
則圓心到直l1的距離d=

|2k-4|

1+k2

又∵三角形CPQ面積S=

1

2

d×2

4-d2

=d

4-d2

=

-(d2-2)2+4

∴當(dāng)d=

2

時，S取得最小值2．
∴d=

|2k-4|

1+k2

=

2

，k=1或k=7．
∴直線方程為y=x-1，或y=7x-7．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓相切，考查三角形的面積的最值，考查計算能力，屬于中檔題．