Question

已知函數(shù)（k為常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若g（x）=xe^xf（x）-2x-m在[1，+∞）恒有g(shù)（x）≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（2）求導(dǎo)數(shù)得（x＞0）
當(dāng)x∈（0，1），f′（x）＞0；當(dāng)x＞1，f′（x）＜0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（3）g（x）=xlnx-x-m≥0，∴m≤xlnx-x
令h（x）=xlnx-x，則h′（x）=lnx，∵x＞1，h′（x）＞0
∴h（x）_min=h（1）=-1，
∴m≤-1
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，可得f′（1）=0，從而可求k的值；
（2）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)求函數(shù)的最值，是求恒成立問(wèn)題的常用方法．